Порядок проведения экзамена

Экзамен рассчитан примерно на 5-6 часов.

При себе иметь:

• 1) Зачётку
• 2) 6 подписанных скреплённых листиков
• 3) Конспект и справочник. Их можно (с моего разрешения) использовать на экзамене
• 4) Все лабораторные работы (4 Л.Р.)

Время на подготовку — 1.5-2 часа(астрономических).

Все лабораторные работы собираются в мешок и отдаются мне

Изменения в вопросах!

Дополнительный № будет вопрос Интегральное преобразование Фурье для решения ДУ в задаче теплопроводности. Интегральная свертка по Фурье.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ(осенний семестр 2009)
Теоретические вопросы в билетах

• [ Числовые и функциональные ряды ]
  • Числовые ряды. Определения. Необходимое условие сходимости числового ряда (теорема с доказательством). Остаток ряда.
  • Обобщенный гармонический ряд. Его сходимость (вывод условий).
  • Интегральный признак Коши сходимости ряда (теорема с доказательством).
  • Признак Даламбера сходимости числового ряда (теорема с доказательством).
  • Признак Коши сходимости числового ряда (теорема с доказательством).
  • Признаки сравнения (первый и второй) сходимости числовых рядов (любой из признаков на выбор с доказательством) .
  • Знакочередующиеся числовые ряды. Теорема Лейбница (с доказательством). Оценка остатка знакочередующегося числового ряда.
  • Абсолютная и условная сходимость знакочередующихся числовых рядов. Теорема Римана (с доказательством).Пример.
  • Абсолютная и условная сходимость знакочередующихся числовых рядов. Теорема Дирихле (с доказательством). Пример.
  • Абсолютная и условная сходимость знакочередующихся числовых рядов. Теорема Абеля (с доказательством). Пример.
  • Функциональная последовательность. Сходимость функциональной последовательности. Равномерная сходимость функциональной последовательности.Примеры.
  • Функциональные ряды общего вида. Сходимость и равномерная сходимость функциональных рядов общего вида. Иные сходимости. Визуализация.
  • Функциональные ряды общего вида. Область сходимости. Теорема (признак) Даламбера построения области сходимости функциональных рядов общего вида. Доказательство. Пример.
  • Функциональные ряды общего вида. Область сходимости. Теорема (признак) Коши построения области сходимости функциональных рядов общего вида. Доказательство. Пример.
  • Равномерная сходимость функциональных рядов общего вида. Теорема Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов (дифференцирование, интегрирование).
  • Степенные ряды. Интервал сходимости степенного ряда (теоремы).
  • Признак Даламбера определения радиуса сходимости степенного ряда (теорема с доказательством). Пример.
  • Признак Коши определения радиуса сходимости степенного ряда (теорема с доказательством). Пример.
  • Интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Разложение в степенной ряд.
  • Приложения степенных рядов. Примеры.
• [ Ряды Фурье, Интегралы Фурье ]
  • Линейное (векторное) пространство.Скалярное прозведение векторов по определению. Свойства скалярного произведения. Примеры.
  • Пространство функций суммируемых с квадратом. Скалярное произведение для таких функций (с доказательством).
  • Норма вектора по определению. Свойства нормы. Норма, порождаемая скалярным произведением (с доказательством). Нормированное пространство.
  • Метрика. По определению и свойства. Порождение метрики. Метрическое пространство.
  • Абстрактный ряд Фурье. Задача о минисальном элементе. Теоремы.
  • Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля. Геометрическая интерпретация равенства Парсеваля в тркхмерном случае.
  • Ортогональные полные системы функций. Тригонометрические ряды Фурье. Виды сходимости функциональных рядов.
  • Ряды Фурье по синусам и косинусам. Разложение периодической функции с произвольным периодом в тригонометрический ряд Фурье. Теорема Дирихле (без доказательства).
  • Эквивалентная (в форме гармоник) форма записи ряда Фурье. Вывод.
  • Комплексная форма записи ряда Фурье. Вывод.
  • Свойства прямого преобразования Фурье. Доказательства.
  • Свертка функций по Фурье. Свойства Фурье-образа. Доказательства.
  • Спектральные характеристики периодических (заданных на конечном интервале) функций. Амплитудный спектр. Пример.
  • Спектральные характеристики периодических (заданных на конечном интервале) функций. Частотный спектр. Пример.
  • Спектральные характеристики непериодических (заданных на бесконечном интервале) функций. Амплитудный спектр. Пример.
  • Спектральные характеристики непериодических (заданных на бесконечном интервале) функций. Частотный спектр. Пример.
  • Интегральное преобразование Фурье для решения УЧП в задаче теплопроводности.
• [ Элементы теории функций комплексной переменной ]
  • Функции комплексного переменного. Определения. Пример комплексного отображения.
  • Показательная функция комплексного переменного. Функция логарифм комплексного переменного.
  • Элементарные функции комплексного переменного.
  • Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана в декартовой системе координат. Пример.
  • Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана в полярной системе координат (вывод).
  • Интегрирование функции комплексного переменного.
  • Интегральные формулы Коши.
  • Ряды Тейлора функции комплексного переменного. Пример.
  • Ряды Лорана функции комплексного переменного. Пример.
  • Нули функции комплексного переменного по определению. Подсчет нулей функции комплексного переменного.
  • Изолированные особые точки функции комплексного переменного по определению .
  • Вычет функции комплексного переменного по определению.
  • Теорема Коши о вычетах функции комплексного переменного (без доказательства). Примеры.
  • Интегральная формула Коши (теорема без доказательств). Примеры.
  • Приложение вычетов функции комплексного переменного к подсчету определенных интегралов. Примеры.
• [ Элементы интегрального преобразования Лапласа ]
  • Изображение и оригинал по Лапласу.Пример.
  • Свойства интегрального преобразования Лапласа (теоремы с доказательством).
  • Свертка по Лапласу. Свойства свертки.
  • Формула Дюамеля(с выводом). Пример к решению ОДУ
  • Приложение операционного исчисления к решению интегральных уравнений Вольтерра 1 и 2 рода.
  • Приложение операционного исчисления к решению ОДУ. Схема алгоритма. Пример.
  • Приложение операционного исчисления к решению систем ОДУ. Схема алгоритма. Пример.
• [ Дополнительные вопросы на высшую оценку ]
  • 1. Банаховы пространства.
  • 2. Гильбертовы пространства.
• [ Литература ]
  • 1. Кудрявцев Л.Д. Курс Математического анализа (любой год издания)
  • 2. Фихтенгольц Курс Математического анализа
  • 3. Ильин Курс Математического анализа
  • 4. Жевняк Р.М., Карпук А.А. Высшая математика (любой год издания)